El problema de Monty Hall vino dado a través de la respuesta de Marilyn Vos Savant a un lector en relación a una curiosa cuestión. La pregunta versaba sobre las mejores opciones que un concursante podía elegir durante el transcurso de un programa, en el cual el presentador del programa ofrecía la elección de una de tres posibles puertas, en cuyos contenidos había 2 cabras y el objeto preciado, el coche. Posteriormente , una vez elegido el concursante una puerta ,el presentador abría una de las que contenían una cabra, dando después la posibilidad al concursante de cambiar su decisión y elegir la otra puerta. La pregunta concretamente decía así:
"Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?"
La pregunta fue inspirada por el programa "Let's Make a Deal" cuyo presentador se llamaba Monty Hall, aunque a diferencia del hipotético caso, en el concurso real Monty Hall no permitía cambiar de puerta.
La cuestión la solucionó Marilyn con una respuesta un tanto controvertida, Sí. Mari adució que era más probable que se ganara el premio si el concursante cambiaba de puerta, pues la probabilidad sería de 2/3 mientras que si no se cambiaba sería tan solo de 1/3.
Las respuestas no se hicieron esperar y decenas de cartas llegarón a la redacción donde trabajaba Mari. En esas cartas, numerosas personas ,dentro de las cuales algunas decían ser matemáticos, demandaban a Mari que se echara atrás, que la respuesta era errónea y que su decisión solo enriquecía la tan extendida ignorancia que se asentaba en gran parte del territorio Yanki. La respuesta que popularmente se creía correcta era 50/50, pero Mari no se echó atrás, sabía que tenía razón. Cuáles son las claves???
En primer lugar la solución se basa en tres suposiciones básicas:
- que el presentador siempre abre una puerta,
- que la escoge entre las restantes después de que el concursante escoja la suya,
- y que tras ella siempre hay una cabra.
La suposición errónea es pensar que como quedan dos puertas da lo mismo cambiar o no, puesto que existiría paridad de probabilidad 50/50. No estiman que el presentador abrirá la puerta en función de nuestra primera elección, abriendo en todo caso una puerta con cabra.
En nuestra primera elección, la posibilidad de elegir el coche es de 1/3, mientras que la posibilidad de elegir la cabra es de 2/3. Si a la primera elegimos el coche , el presentador tendrá dos puertas con cabra para elegir abrir, y si cambiamos habremos perdido. Sin embargo si nuestra primera opción es una cabra, el presentador solo podrá elegir una puerta con cabra, quedando la restante necesariamente con el coche. Recordemos que la posibilidad de elegir la cabra al principio siempre es mayor ,por eso tenemos más probabilidad de ganar si cambiamos de puerta.
Para una explicación más precisa, imaginad que el concurso consiste en sacar 1 bola verde de una bolsa con 99 bolas rojas y simplemente una verde. Primero sacamos una bola de la bolsa y no la miramos. El presentador, que sabe cuales son las bolas rojas, saca 98 de este color y deja dentro tan solo una, dándote después la posibilidad de cambiar tu bola por la que quedó en el interior de la bolsa. ¿Cambiarías la bolsa?. Evidentemente sería absurdo no hacerlo. La posibilidad de elegir como primera opción la bola verde es de 1/100, mientras que existen 99/100 posibilidades de que se encuentre en la bolsa. Como el presentador descubre siempre 98 bolas rojas de las que no elegiste, al cambiar estarías adoptando la posibilidad de acertar de 99/100.
Abajo os pongo un blog de estadística donde existe una explicación más detallada, e incluso un simulador del concurso para contabilizar los resultados.
Muchas gracias!!
